从开关到 CPU · LogicLab

开关会“算”吗

一只开关只有两种状态：断开和合上。把断开记作 0、合上记作 1，灯灭记作 0、灯亮记作 1，一个电路就成了一道“判断题”。

直接在画面里点开关。两只开关串联：都合上灯才亮；并联：合上任意一只灯就亮。把四种组合都试一遍，右边的真值表会一行一行填出来。

再换成继电器：线圈通电后变成电磁铁，把另一个回路的触点吸开。它是一只用电来拨动的开关。1937 年，21 岁的香农在硕士论文里指出：这样的开关电路，正好能表达逻辑里的“与”“或”“非”。电路本身的规律见 VoltLab。

逻辑门

把上一课的开关电路装进一个盒子，只留下输入和输出，就是逻辑门。导线上有电压记作 1（亮），没有记作 0（暗）。

拨动左边的输入开关，看信号沿导线走到门里，门“想”一下，再把结果送到指示灯。在右侧换一种门，把每种门的真值表都试出来：与门 Y = A · B，或门 Y = A + B，非门 Y = A；输出端带小圆圈的与非门、或非门是先算再取反；异或门在两个输入不同时输出 1。

点“透视”，看门的内部：没有任何会动的零件，只有几只晶体管——用电压控制的微型开关。左上角可以在形状符号和国标符号（&、≥1、1、=1）之间切换。

万能的与非门

这一课你来接线。板上只有与非门，任务是用它搭出别的门。

接线：按住一个引脚拖到另一个引脚（或者先点一个、再点另一个）。导线要从输出连到输入，一个输出可以分给好几个输入，一个输入只能接一根线。点一根线可以把它拆掉。拨动左边的开关，随时看信号怎样流过你接的电路。

接好后按验证：每一种输入都会自动试一遍，和目标真值表逐行比较。全对了就把它封装成芯片。芯片工厂正是这样做的：与非门只要四只晶体管，最省、最快，于是成了搭建一切的“积木”。卡住了可以按“提示一根线”。

只用 0 和 1 数数

一根导线只能表示 0 或 1，叫作一位（bit）。要表示更大的数，就把几根导线排成一排，像十进制的个位、十位、百位那样，每一位有自己的位权——只不过这里是 1、2、4、8，逢二进一。

拨动四只开关，每只下面的灯表示这一位是 0 还是 1，右边的数码管显示它对应的十进制数。1011 就是 8 + 0 + 2 + 1 = 11。

再按“加 1”一下一下地数：最低位是 1 时再加 1，它变回 0 并向左进位。从 0111 加 1，进位会一连传过三位。四位都是 1 之后再加 1，就溢出了。

半加器

两个一位二进制数相加只有四种情况：0 + 0 = 0，0 + 1 = 1，1 + 0 = 1，1 + 1 = 10。结果要用两位表示：本位的和 S，与向高位的进位 C。

对照右边的目标真值表：S 这一列像哪一种门？C 这一列又像哪一种？板上摆着四种门，挑出合适的两个，把 A、B 接进去，再把输出接到 S 和 C 两盏灯上。多余的门不用管。

验证通过后把它封装成一只半加器芯片。1937 年，贝尔实验室的斯蒂比兹把几只继电器、两个手电筒灯泡带回家，在厨房的餐桌上搭出的，就是这样一个二进制加法电路。

全加器

列竖式做加法时，每一位其实要加三个数：A 的这一位、B 的这一位，还有低位送来的进位 Cin。能处理这三个输入的电路叫全加器。

板上有你刚封装好的两只半加器芯片（HA）。先用第一只把 A 和 B 加起来，再用第二只把这个结果和 Cin 加起来，第二只的“和”就是最终的 S。

两只半加器各有一个进位输出，只要其中一个是 1，就该向高位进位。挑一个门把它们合并成 Cout。验证八种输入，全对后封装成全加器芯片（FA）。

四位加法器

四只全加器排成一行，和竖式一模一样：上面一排开关是 A，第二排是 B，下面一排灯是和。每只全加器的进位输出，接到左边高一位的进位输入——橙色的线就是进位。

拨动开关出一道题，看信号一位一位算过去。试试 1111 + 0001：最低位产生的进位要依次穿过四只全加器，高位的结果要等低位算完才能定下来，所以它叫行波进位加法器。右侧的波形图记下了每个和位是什么时候稳定的。

右边还有一只“减”开关 M：打开后，每个 B 先经过异或门被取反，最低位再多加一个 1。A − B = A + B + 1，减法也交给了同一只加法器。

从加法器到 CPU

你搭的四位加法器成了这台小 CPU 的运算器。它周围多了几样东西：寄存器 A、B 用来记住数；程序存储器里存着一条条指令；程序计数器 PC 记着现在执行到第几条；控制器看懂指令，决定这一拍把哪些数送进加法器。

每按一下时钟，它执行一条指令，分四拍：取指令 → 译码 → 执行 → PC 加 1。先一步一步执行“3 + 4”，再运行“倒数”和“3 × 4”——它没有乘法器，乘法是用加法循环做出来的。右侧的程序可以改：点操作数旁的 − 和 +，换个数再运行。

最后按“拉远”，数一数从一只开关到一块芯片要多少晶体管。1971 年的 Intel 4004 也是 4 位的，有 2300 只。机器怎样用更多的加法和乘法“学习”，见 NeuroLab。

随堂检测

回顾八个课题，完成下面的选择题。