函数图像 · FuncLab

图像变换

从基本函数 y = f(x) 出发，y = a·f(b(x − h)) + k 的图像可以由四步变换得到：

h 左右平移（“左加右减”），k 上下平移，a 纵向伸缩（a < 0 时还要关于 x 轴翻折），b 横向伸缩为原来的 1/b。

淡色是原函数，圆点标出一个特征点在变换前后的位置。

指数与对数

y = aˣ 与 y = logₐx（a > 0 且 a ≠ 1）互为反函数，图像关于直线 y = x 对称。

a > 1 时两者都是增函数；0 < a < 1 时都是减函数。指数函数恒过 (0, 1)，对数函数恒过 (1, 0)。

拖动曲线上的点，看它关于 y = x 的对称点。

单位圆与三角函数

角 θ 的终边与单位圆交于点 P(cos θ, sin θ)。P 的纵坐标就是 sin θ，横坐标就是 cos θ。

让 θ 转动，把 P 的高度随 θ 记录下来，就“展开”成了正弦曲线 y = sin x。转一圈是 2π，所以正弦函数的周期是 2π。

正弦型函数

y = A sin(ωx + φ) + k 中：A 决定振幅，ω 决定周期 T = 2π/ω，φ 决定初相，k 让图像上下平移。

从 y = sin x 出发：先向左平移 φ，再把横坐标缩短为原来的 1/ω；若先伸缩，则只需平移 φ/ω。

“五点法”：令 ωx + φ 依次取 0、π/2、π、3π/2、2π，描出一个周期内的五个关键点。

导数的几何意义

曲线上取点 P(x₀, f(x₀)) 和 Q(x₀ + h, f(x₀ + h))，割线 PQ 的斜率是平均变化率 (f(x₀ + h) − f(x₀)) / h。

让 h → 0，Q 沿曲线滑向 P，割线趋近于切线。切线的斜率就是导数 f′(x₀)。

单调性与极值

上图是 f(x)，下图是导函数 f′(x)。

f′(x) > 0 的区间上 f(x) 单调递增，f′(x) < 0 的区间上单调递减。

f′(x) 由正变负的点是极大值点，由负变正的点是极小值点。f′(x₀) = 0 但不变号的点（如 x³ 在 0 处）不是极值点。

零点与二分法

若 f(x) 在 [a, b] 上连续，且 f(a)·f(b) < 0，则在 (a, b) 内至少有一个零点（零点存在定理）。

二分法：取中点 m，看 f(m) 的符号，保留仍然异号的那一半区间。每一步区间长度减半，直到达到所需的精度。

拖动区间端点，或者点“下一步”逐步二分。

定积分（拓展）

求曲边梯形的面积：把 [a, b] 分成 n 等份，每一份用一个矩形近似，矩形面积之和叫黎曼和。

n 越大，矩形越窄，黎曼和越接近曲边梯形的面积，这个极限就是定积分 ∫ₐᵇ f(x) dx。

比较以左端点、右端点、中点为高的三种取法。