勾股定理 · PythagoLab

拼图挑战

直角三角形三条边上各有一个正方形。勾股定理说：两个小正方形的面积之和，等于斜边上的大正方形的面积，a² + b² = c²。

别急着算，先动手：b² 已经被切成 4 块，把它们和 a² 一起拖进 c²，看能不能拼满。

出入相补

中国古代称直角三角形的两条直角边为“勾”“股”，斜边为“弦”。三国时赵爽用“弦图”、魏晋时刘徽用“出入相补”证明了勾股定理。

“出入相补”：图形剪下的部分移到别处，面积不变。

欧几里得的证明

《几何原本》第一卷第 47 个命题。从直角顶点 C 作斜边的垂线，把 c² 分成两个矩形，再证明它们分别等于 a² 和 b²。

动画把证明中的全等三角形换成了三个保持面积的变换：剪切、旋转、剪切。

更多证法

勾股定理大概是证法最多的定理，有人收集了三百多种。这里再看两种：毕达哥拉斯学派的“重排”，和美国总统加菲尔德的“梯形”。

倒水

把三个正方形做成一样厚的水槽，连在直角三角形的三条边上。

先在 a² 和 b² 里装满水，然后慢慢转动整块板，水会流进 c²。猜猜看：能装满吗？会溢出吗？

勾股数

三边都是整数的直角三角形，三边长叫一组勾股数，如 3、4、5 和 5、12、13。

任取正整数 m > n，a = m² − n²，b = 2mn，c = m² + n² 一定是勾股数。拖动 m、n 试试，或者点散点图上的点。