圆锥曲线 · ConicLab

圆锥的截线

用平面去截一个对顶圆锥，截线随平面的倾斜程度变化：平面垂直于轴时是圆，稍微倾斜是椭圆，与某条母线平行时是抛物线，同时截到上下两个圆锥时是双曲线。

设截面与轴所成的角为 β，圆锥的半顶角为 α，则离心率 e = cos β / cos α：β > α 为椭圆，β = α 为抛物线，β < α 为双曲线。

Dandelin 双球

在圆锥里放两个球，都与圆锥相切、也与截平面相切。两个球与截平面的切点 F₁、F₂ 正是截线的焦点。

从球外一点引球的切线，切线长相等。截线上的点 P 到 F₁ 的距离，等于 P 沿母线到上方切圆的距离 PQ₁；同理 PF₂ = PQ₂。

所以 PF₁ + PF₂ = Q₁Q₂，是两个切圆之间的母线长，与 P 的位置无关：这就是椭圆的定义。

椭圆

平面内到两个定点 F₁、F₂ 的距离之和等于常数 2a（2a > |F₁F₂|）的点的轨迹叫椭圆。

把细绳两端钉在焦点上，用笔拉紧绳子转一圈，就画出一个椭圆。

标准方程 x²/a² + y²/b² = 1（a > b > 0），其中 a² = b² + c²，离心率 e = c/a 越接近 1，椭圆越扁。

双曲线

平面内到两个定点 F₁、F₂ 的距离之差的绝对值等于常数 2a（0 < 2a < |F₁F₂|）的点的轨迹叫双曲线。

标准方程 x²/a² − y²/b² = 1，其中 c² = a² + b²。双曲线有两条渐近线 y = ±(b/a)x，离曲线越远，曲线越贴近它们。

a = b 时叫等轴双曲线，渐近线互相垂直，离心率为 √2。

抛物线

平面内到一个定点 F 和一条定直线 l（F 不在 l 上）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。F 是焦点，l 是准线。

标准方程 y² = 2px（p > 0），焦点 (p/2, 0)，准线 x = −p/2。p 是焦点到准线的距离。

过焦点且垂直于对称轴的弦叫通径，长为 2p。

离心率

三种曲线可以统一起来：平面内到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹。

0 < e < 1 是椭圆，e = 1 是抛物线，e > 1 是双曲线；e 越接近 0，椭圆越圆。

拖动 e 的滑块，看曲线如何连续地从圆变成椭圆、抛物线、双曲线。

光学性质

从椭圆一个焦点发出的光，经椭圆反射后汇聚到另一个焦点。

从抛物线焦点发出的光，反射后平行于对称轴射出，探照灯、卫星天线都用这个原理。

从双曲线一个焦点发出的光，反射后的反向延长线经过另一个焦点。

拖动光源离开焦点，反射光就不再汇聚。

直线与圆锥曲线

把直线方程 y = kx + m 代入曲线方程，消去 y 得到关于 x 的方程。二次项系数不为零时，用判别式 Δ 判断位置关系：Δ > 0 相交，Δ = 0 相切，Δ < 0 相离。

弦长 |AB| = √(1 + k²)·|x₁ − x₂|。椭圆中，弦 AB 的中点为 M 时，kAB · kOM = −b²/a²（点差法）。