振动与波 · WaveLab

弹簧振子

竖直悬挂的弹簧下端挂着钩码。把钩码向下拉开一段距离后释放，它在平衡位置附近上下往复运动。回复力与位移成正比、方向相反：

F = −kx

这样的运动叫简谐运动。钩码上的笔在匀速移动的纸带上画出的 x-t 图像是一条正弦曲线。

T = 2π√(m/k)

周期与振幅无关，只由振子的质量 m 和弹簧的劲度系数 k 决定。改变 m、k 记录周期，画出 T-√m 图像。

单摆

细线下端拴一个小球，摆角很小时小球近似做简谐运动。光电门记录小球每次经过最低点的时刻，测出周期：

T = 2π√(L/g)

单摆的周期与摆球质量、振幅（摆角小时）无关，只与摆长 L 和当地的重力加速度 g 有关——这就是单摆的等时性，也是测量 g 的方法：画出 T²-L 图像，斜率 k = 4π²/g。

把摆角增大到 30° 以上，实测周期会比公式值偏大；到月球或火星上试试，周期变长。

简谐运动的能量

摆球在最高点速度为零，动能为零、势能最大；经过最低点时速度最大，动能最大、势能最小。没有阻力时，动能与势能相互转化，机械能守恒：

E = Eₖ + Eₚ = 常量

增大阻尼，机械能逐渐转化为内能，振幅越来越小，这就是阻尼振动。注意：阻尼振动的周期几乎不变。

受迫振动与共振

电机通过偏心轮让弹簧的上端周期性地上下运动，振子在驱动力作用下做受迫振动。稳定后振子的频率等于驱动力的频率，与固有频率无关。

驱动频率越接近振子的固有频率 f₀ = (1/2π)√(k/m)，振幅越大；两者相等时振幅最大——共振。

按“扫描驱动频率”自动画出共振曲线。阻尼越小，共振峰越高越尖。部队过桥便步走、洗衣机的减震，都与共振有关。

机械波的形成

一排质点由弹性力相互连接。最左边的质点在外力作用下振动，带动相邻质点依次振动，振动的形式和能量就这样传播出去，形成机械波。

注意质点本身并不随波迁移，只是在各自的平衡位置附近振动（看红色质点）。质点振动方向与传播方向垂直的是横波；在同一直线上的是纵波，形成疏部和密部。

v = λ f = λ / T

波的反射

在绳的一端甩出一个脉冲，脉冲传到另一端后被反射回来。

· 固定端：绳端被夹住不能动，反射波与入射波反相（波峰变成波谷），相当于损失了半个波长——半波损失。· 自由端：绳端套在光滑竖杆上可以自由滑动，反射波与入射波同相。

反射前后波速不变。

波的叠加与驻波

几列波相遇时，每个质点的位移等于各列波单独引起的位移之和——波的叠加原理。相遇后各列波保持原来的形状继续传播。

振源在左端持续振动，波在右端固定处反射，入射波与反射波叠加。当绳长恰好等于半波长的整数倍时形成稳定的驻波：有些点始终不动（波节），有些点振幅最大（波腹）。

fₙ = n v / 2L (n = 1, 2, 3 …)

吉他、小提琴的弦就是这样发声的。

水波的干涉与衍射

两个振动情况完全相同的波源（相干波源）在水面激起水波。某点到两波源的波程差为波长整数倍时振动加强，为半波长奇数倍时振动减弱，水面出现稳定的加强区和减弱区相间分布——波的干涉。

Δr = kλ 加强 Δr = (2k+1)λ/2 减弱

切换到单缝：平面波通过挡板上的缝后向各方向传播，这就是衍射。缝宽比波长小或相差不多时，衍射最明显。

多普勒效应

声源向观察者靠近时，前方的波面被“挤”在一起，波长变短，观察者听到的频率升高；声源远离时波长变长，频率降低。这就是多普勒效应：

f′ = f · v / (v ∓ vₛ)

打开声音，切换“听者位置”听一听音调的变化。声源速度超过声速时，波面叠加成一个圆锥——马赫锥，产生音爆。

声音的特性与共鸣

声音由物体振动产生，以声波的形式传播。示波器显示麦克风接收到的波形：

· 响度由振幅决定· 音调由频率决定· 音色由波形（各次谐波的组成）决定——音叉几乎是纯正弦波，钢琴、小提琴含有丰富的谐波。

敲响音叉放在共鸣管口，调节水面高度改变空气柱长度 L。当

L = (2n − 1) λ / 4

时空气柱发生共鸣，声音明显变响。由两次共鸣的长度差 λ/2 可以测出声速。

自由实验

所有参数开放：左端的振动方式、右端的边界、波速、频率、振幅、阻尼。

试一试：

· 左端驱动、右端吸收：持续的行波· 左端驱动、右端固定：驻波· 左端脉冲、右端自由：同相反射· 调大阻尼：波在传播中衰减