电场与磁场 · FieldLab

电场线与等势面

点电荷周围的电场 E = kQ/r²，多个电荷的电场按矢量叠加。用电场线形象地描述电场：线上每点的切线方向就是场强方向，线的疏密表示场强大小。电场线从正电荷（或无穷远）出发，终止于负电荷（或无穷远），不相交、不闭合。

电势 φ = kQ/r 是标量，直接相加。电势相等的点连成等势线：

等势线处处与电场线垂直，沿电场线方向电势降低

拖动电荷改变它们的位置，拖动探针读出任意一点的 E 和 φ。打开三维电势面：正电荷处是“山峰”，负电荷处是“深谷”，电场线就是“最陡的下坡方向”。

电场力做功与电势能

把试探电荷 q 从 A 点移到 B 点，电场力做的功

WAB = q (φA − φB) = q UAB

只与起点、终点的位置有关，与路径无关——和重力做功一样。所以可以定义电势能 Ep = qφ：电场力做正功，电势能减少；做负功，电势能增加。

分别沿直线、折线、弯曲三条路径移动 q，数据坞中的 W - s 曲线各不相同，终点处却汇于同一点。拖动 A、B 两点，或者把试探电荷换成负电荷再试。

平行板电容器

两块彼此绝缘、靠得很近的平行金属板构成平行板电容器。它的电容

C = εr S / (4πkd) = εrε0 S / d

充电后断开电源，极板上的电荷量 Q 不变，由 U = Q/C 知：增大 d、减小正对面积 S，或抽出电介质，C 变小，静电计指针偏角（U）变大。而板间场强 E = U/d = Q/(εrε0S) 与 d 无关。

若始终接在电源上，U 不变，改变 d 时 Q 和 E 随之变化。记录多组数据，C - 1/d 图像是一条过原点的直线。

示波管

阴极 K 被灯丝加热后发射电子，经加速电压 U₁ 加速：eU₁ = ½mv₀²。电子以 v₀ 垂直进入偏转电极（板长 L、间距 d），在电场中做类平抛运动，离开偏转板时的侧移

y = qU₂L² / (2mdv₀²) = U₂L² / (4dU₁)

之后匀速直线运动打到荧光屏上，好像从偏转板中点沿直线射出。偏移量与 U₂ 成正比，这就是示波器测电压的原理。

在 X 偏转板上加锯齿形的扫描电压，电子束从左到右匀速扫过屏幕；Y 板上加待测信号，屏上就画出信号的波形。

磁感线

在玻璃板上均匀撒一层铁屑，轻敲玻璃板，铁屑被磁化后沿磁场方向排成一条条曲线；放上小磁针，静止时 N 极的指向就是该点的磁场方向。

磁感线在磁体外部从 N 极出发回到 S 极，在内部从 S 极到 N 极，是闭合曲线。

电流也能产生磁场（奥斯特）。直导线的磁感线是一圈圈同心圆，用安培定则（右手螺旋定则）判断方向：

直导线 B = μ₀I / (2πr)

环形电流和通电螺线管的磁场与条形磁铁相似，螺线管内部是近似匀强的磁场。

安培力

把一根铜棒横放在两条水平金属导轨上，置于蹄形磁铁的两极之间。接通电源，电流流过铜棒，铜棒受到安培力沿导轨滚动。

F = B I L

L 是导体在磁场中的有效长度（磁铁越多，L 越长）。安培力的方向用左手定则判断：伸开左手，让磁感线垂直穿入手心，四指指向电流方向，拇指所指就是安培力的方向。

改变电流方向或者对调磁极，铜棒的运动方向都会反过来；同时改变两者，方向不变。

洛伦兹力

运动电荷在磁场中受到洛伦兹力 F = qvB（v ⊥ B），方向由左手定则判断（负电荷与正电荷相反）。洛伦兹力始终垂直于速度，不做功，只改变速度的方向。

洛伦兹力演示仪：亥姆霍兹线圈产生匀强磁场，玻璃泡内的稀薄气体让电子束的径迹发光。电子垂直磁场射入时做匀速圆周运动：

r = mv / (qB) T = 2πm / (qB)

倾斜电子枪，速度有平行于 B 的分量，径迹变成螺旋线。

速度选择器：电场与磁场互相垂直，只有 qE = qvB，即 v = E / B 的粒子能沿直线穿过狭缝。

质谱仪与回旋加速器

质谱仪：离子经电压 U 加速后从狭缝 S 垂直进入匀强磁场，做半个圆周运动打在照相底片上：

qU = ½mv² r = mv/(qB) = √(2mU/q) / B

电荷量相同的同位素，质量越大半径越大，在底片上形成一条条谱线，r₁ : r₂ = √m₁ : √m₂。阿斯顿就是这样发现了氖的同位素。

回旋加速器：两个 D 形盒置于匀强磁场中，缝隙间加交变电压。粒子每次经过缝隙被加速一次，半径越来越大，但周期 T = 2πm/(qB) 与速度无关，所以交变电压的频率可以固定。最终动能

Ek = q²B²R² / (2m)

只取决于 B 和 D 形盒半径 R，与加速电压无关。

电磁感应与楞次定律

穿过闭合回路的磁通量发生变化，回路中就产生感应电流——电磁感应（法拉第）。感应电动势

E = N ΔΦ / Δt

拖动磁铁插入、拔出线圈，检流计指针偏转；磁铁不动时指针回零。插拔越快，偏转越大。

楞次定律：感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化——“来拒去留”。

导体棒在磁场中切割磁感线：E = BLv。感应电流使棒受到与运动方向相反的安培力 F = B²L²v/R，在恒定拉力下棒最终匀速运动。

交流发电机

矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴匀速转动，ab、cd 两边切割磁感线，线圈中产生大小和方向都周期性变化的交变电流。从中性面开始计时：

e = Em sin ωt Em = NBSω

线圈平面与磁场垂直的位置叫中性面：此时磁通量最大，但各边不切割磁感线，电动势为零；转过 90°，磁通量为零，电动势最大。每经过中性面一次，电流方向改变一次。

正弦交流电的有效值 E = Em / √2：让交流电和直流电通过相同的电阻，相同时间内产生的热量相等。

自由实验

在实验台上自由放置点电荷，在右半边开启一块匀强磁场区，用粒子枪发射电子、质子或 α 粒子，观察它们在电场和磁场中的轨迹（Boris 算法逐步计算）。

· 点击面板上的按钮添加电荷，拖动电荷移动，选中后按 Delete 删除· 拖动粒子枪移动，拖动金色圆环改变发射方向· 粒子运动按慢镜头播放

试试让电子绕着正电荷转圈，或者让质子在磁场里转半圈后回来。