振動と波 · WaveLab

ばね振り子

鉛直につるしたばねの下端におもりを下げます。おもりを少し下に引いて放すと、つり合いの位置を中心に上下に往復運動します。復元力は変位に比例し、向きは逆です：

F = −kx

このような運動を単振動といいます。おもりに付けたペンが等速で動く記録テープに描く x-t グラフは正弦曲線になります。

T = 2π√(m/k)

周期は振幅によらず、振動子の質量 m とばね定数 k だけで決まります。m や k を変えて周期を記録し、T-√m グラフをかきましょう。

単振り子

細い糸の下端に小球を結びます。振れ角が小さいとき、小球はほぼ単振動をします。光ゲートが小球が最下点を通過する時刻を毎回記録し、周期を測定します：

T = 2π√(L/g)

単振り子の周期は、おもりの質量や（振れ角が小さいときの）振幅によらず、振り子の長さ L とその場所の重力加速度 g だけで決まります。これが振り子の等時性で、g を測定する方法にもなります：T²-L グラフをかくと、傾きは k = 4π²/g です。

振れ角を 30° 以上にすると、実測の周期は公式の値より大きくなります。月や火星でも試してみましょう。周期が長くなります。

単振動のエネルギー

おもりは最高点で速さが 0 になり、運動エネルギーは 0、位置エネルギーは最大です。最下点を通過するとき速さが最大で、運動エネルギーは最大、位置エネルギーは最小です。抵抗がなければ運動エネルギーと位置エネルギーが互いに移り変わり、力学的エネルギーは保存されます：

E = Eₖ + Eₚ = 一定

減衰を大きくすると、力学的エネルギーはしだいに内部エネルギーに変わり、振幅がどんどん小さくなります。これが減衰振動です。注意：減衰振動の周期はほとんど変わりません。

強制振動と共振

モーターが偏心輪でばねの上端を周期的に上下させ、振動子は駆動力を受けて強制振動をします。定常状態では振動子の振動数は駆動力の振動数に等しく、固有振動数とは関係ありません。

駆動振動数が振動子の固有振動数 f₀ = (1/2π)√(k/m) に近いほど振幅は大きくなり、両者が等しいとき振幅は最大になります。これが共振です。

「駆動振動数をスキャン」を押すと共振曲線が自動でかかれます。減衰が小さいほど共振のピークは高く鋭くなります。軍隊が橋を渡るとき歩調を乱すことや、洗濯機の防振も共振と関係しています。

波の発生と伝わり方

一列に並んだ媒質の粒子が弾性力でつながっています。左端の粒子が外力で振動すると、隣の粒子を次々に振動させ、振動の様子とエネルギーがこうして伝わっていき、力学的な波ができます。

粒子そのものは波とともに移動しないことに注意しましょう。それぞれのつり合いの位置のまわりで振動するだけです（赤い粒子に注目）。粒子の振動方向が進行方向に垂直な波が横波、同じ直線上にある波が縦波で、疎と密ができます。

v = λ f = λ / T

波の反射

ロープの一端からパルスを送ると、パルスは他端に達したあと反射して戻ってきます。

· 固定端：ロープの端は固定されて動けません。反射波は入射波と逆位相（山が谷になる）で、半波長分ずれたことに相当します。これを半波長の損失（位相の反転）といいます。· 自由端：ロープの端はなめらかな鉛直の棒にはめてあり、自由に滑れます。反射波は入射波と同位相です。

反射の前後で波の速さは変わりません。

波の重ね合わせと定常波

いくつかの波が出会うと、各粒子の変位はそれぞれの波が単独で起こす変位の和になります。これが波の重ね合わせの原理です。出会ったあと、それぞれの波はもとの形を保ったまま進みます。

波源は左端で振動し続け、波は右端の固定端で反射し、入射波と反射波が重なり合います。ロープの長さがちょうど半波長の整数倍になると安定した定常波ができます。まったく動かない点（節）と、振幅が最大の点（腹）があります。

fₙ = n v / 2L (n = 1, 2, 3 …)

ギターやバイオリンの弦はこうして音を出しています。

水面波の干渉と回折

まったく同じように振動する 2 つの波源（可干渉な波源）が水面に波を起こします。ある点から 2 つの波源までの経路差が波長の整数倍のとき振動は強め合い、半波長の奇数倍のとき弱め合います。水面には強め合う領域と弱め合う領域が安定して交互に並びます。これが波の干渉です。

Δr = kλ 強め合い Δr = (2k+1)λ/2 弱め合い

単スリットに切り替えましょう：平面波が仕切り板のすき間を通過すると、あらゆる方向に広がります。これが回折です。すき間の幅が波長より小さいか同程度のとき、回折は最も顕著になります。

ドップラー効果

音源が観測者に近づくとき、前方の波面が「押し縮められ」て波長が短くなり、観測者には高い振動数の音が聞こえます。音源が遠ざかるときは波長が長くなり、振動数は低くなります。これがドップラー効果です：

f′ = f · v / (v ∓ vₛ)

音をオンにして「聞き手の位置」を切り替え、音の高さの変化を聞いてみましょう。音源の速さが音速を超えると、波面が重なって円錐になります。これがマッハコーンで、ソニックブームが生じます。

音の性質と共鳴

音は物体の振動によって生じ、音波として伝わります。オシロスコープはマイクがとらえた波形を表示します：

· 音の大きさは振幅で決まる· 音の高さは振動数で決まる· 音色は波形（倍音の構成）で決まる。音さはほぼ純粋な正弦波で、ピアノやバイオリンは倍音を豊富に含みます。

音さを鳴らして気柱共鳴管の口に近づけ、水面の高さを調節して気柱の長さ L を変えます。

L = (2n − 1) λ / 4

のとき気柱が共鳴し、音がはっきり大きくなります。2 回の共鳴の長さの差 λ/2 から音速を求められます。

自由実験

すべてのパラメーターを自由に設定できます：左端の振動のさせ方、右端の境界、波の速さ、振動数、振幅、減衰。

試してみよう：

· 左端を駆動、右端で吸収：連続した進行波· 左端を駆動、右端を固定：定常波· 左端からパルス、右端は自由端：同位相の反射· 減衰を大きくする：波は進むにつれて減衰する