空間図形 · GeoSpace

立体を知る

いくつかの平面多角形で囲まれた立体を多面体といい、平面図形を一つの直線のまわりに回転してできる立体を回転体。

といいます。舞台をドラッグして立体を回転してください。見えない辺は破線で描きます。これが立体図の描き方の約束です。

多面体の頂点数 V、辺数 E、面数 F を数えると、それらはいつもオイラーの公式 V − E + F = 2。

展開と折りたたみ

を満たします。表面をいくつかの辺に沿って切り開いて平らにすると、その展開図が得られます。表面積は展開図の面積です。

円柱の側面を展開すると長方形、円錐の側面を展開すると扇形になります。立方体には全部で 11 種の異なる展開図があります。

表面上の二点を結ぶ最短経路は、経路が通る面をまず同じ平面に展開し、それから直線で結びます。

三面図と直観図

真正面、真左、真上から立体を見ると、それぞれ正面図、左側面図、平面図が得られます。三つは「長さは正面に合い、高さは揃い、幅は等しい」を満たします。

格子の上をクリックすると小さな立方体を積み、右クリック（または「取り除く」に切り替え）で立方体を外せます。三面図は同時に更新されます。三面図が同じ立体でも、積み方は一つとは限りません。

斜二軸測法は、水平に置いた平面図形の直観図を描くのに使います。

断面

一つの平面で立体を切って得られる平面図形を切り口といいます。切り口の各辺は、切断面と立体のある面との交線です。

辺の上の三点 P、Q、R をドラッグして切断面を決めます。または「自由」モードに切り替えて、平面の向きと位置を調整します。

立方体の切り口は三角形、四角形、五角形、六角形になり得ますが、切り口の三角形は必ず鋭角三角形で、正五角形は切り出せません。

空間の角

空間の角は、すべて平面角に直して求めます：

ねじれの位置にある二直線のなす角：一方の直線を平行移動して二直線を交わらせ、できる鋭角または直角です。範囲は (0°, 90°] です。

直線と平面のなす角：斜線と、平面内でのその射影がなす角です。範囲は [0°, 90°] です。

二面角：辺の上に一点を取り、二つの面の中でそれぞれ辺に垂直な半直線を引き、その二本がなす角です。範囲は [0°, 180°] です。

辺や対角線、面をクリックして対象を選びます。例題を直接選ぶこともできます。

空間ベクトルと座標

空間座標を定めると、点には座標があり、直線には方向ベクトルがあり、平面には法線ベクトルがあり、空間の角も距離もベクトルの演算で求められ、補助線は不要です。

ねじれの位置の直線：cos θ = |a·b| / (|a||b|)、直線と平面の角：sin θ = |a·n| / (|a||n|)、二面角は法線ベクトルのなす角から得られ、鋭角か鈍角かは図で判断します。点から平面までの距離：d = |AP·n| / |n|。

右側では、ベクトルの方法の結果と第 5 章の幾何の方法を並べて対照します。

外接球と内接球

立体のすべての頂点が球面上にあるとき、その球をその立体の外接球といいます。球が立体のすべての面に接するとき、内接球。

といいます。外接球を求める鍵は球の中心を見つけることです。中心から各頂点までの距離は等しいです。直方体の外接球の直径は、ちょうど立体の対角線です。

正四面体や、三つの辺が互いに垂直な三角錐は、補って立方体または直方体にでき、それらの外接球は同じです。

確認テスト

切り口、展開図、三面図の三種類の問題で、各組はランダムに 5 題です。答えると、舞台が答えを実演します。