関数のグラフ · FuncLab

グラフの変換

基本の関数 y = f(x) から出発すると、y = a·f(b(x − h)) + k のグラフは四つの変換で得られます。

hは左右の平行移動（「左は足す、右は引く」）、kは上下の平行移動、aは縦方向の伸縮（a < 0 のときは、さらに x 軸について折り返す）、bは横方向の伸縮で、もとの 1/b 倍です。

薄い色がもとの関数で、丸点は一つの特徴点が変換の前後でどこにあるかを示します。

指数と対数

y = aˣ と y = logₐx（a > 0 かつ a ≠ 1）は互いに逆関数で、グラフは直線 y = x について対称です。

a > 1 のとき両方とも増加関数、0 < a < 1 のとき両方とも減少関数です。指数関数は必ず (0, 1) を通り、対数関数は必ず (1, 0) を通ります。

曲線上の点をドラッグすると、直線 y = x についての対称点が見られます。

単位円と三角関数

角 θ の動径が単位円と交わる点を P(cos θ, sin θ) とします。P の縦座標が sin θで、横座標が cos θ。

です。θ を回し、P の高さを θ に対して記録すると、正弦曲線 y = sin x に「展開」されます。一周は 2π なので、正弦関数の周期は 2π です。

正弦型の関数

y = A sin(ωx + φ) + k において、Aが振幅を決め、ωが周期 T = 2π/ω を決め、φが初期位相を決め、kがグラフを上下に平行移動させます。

y = sin x から出発します。まず φ だけ左へ平行移動し、それから横座標を 1/ω 倍に縮めます。先に伸縮するなら、平行移動は φ/ω。

だけで済みます。「五点法」：ωx + φ を順に 0、π/2、π、3π/2、2π とし、一周期の中の五つの要点を取ります。

導関数の幾何的意味

曲線上に点 P(x₀, f(x₀)) と Q(x₀ + h, f(x₀ + h)) を取ります。割線 PQ の傾きは、平均変化率 (f(x₀ + h) − f(x₀)) / h です。

h → 0 とすると、Q は曲線に沿って P へ滑り、割線は接線に近づきます。接線の傾きが導関数 f′(x₀)。

単調性と極値

上の図が f(x)、下の図が導関数 f′(x) です。

f′(x) > 0 の区間では f(x) は単調に増加し、f′(x) < 0 の区間では単調に減少します。

f′(x) が正から負へ変わる点は極大点、負から正へ変わる点は極小点です。f′(x₀) = 0 でも符号が変わらない点（x³ の 0 など）は極値点ではありません。

零点と二分法

f(x) が [a, b] で連続で、かつ f(a)·f(b) < 0 なら、(a, b) の中に零点が少なくとも一つあります（零点の存在定理）。

）。二分法：中点 m を取り、f(m) の符号を見て、依然として異符号である半分の区間を残します。一歩ごとに区間の長さは半分になり、必要な精度に達するまで続けます。

区間の端点をドラッグするか、「次へ」を押して一歩ずつ二分します。

定積分（発展）

です。曲辺の台形の面積を求めます。[a, b] を n 等分し、各部分を一つの長方形で近似します。長方形の面積の和をリーマン和。

といいます。n が大きいほど長方形は細くなり、リーマン和は曲辺の台形の面積に近づきます。この極限が定積分 ∫ₐᵇ f(x) dx。

です。左端、右端、中点を高さにする三つの取り方を比べてください。