三平方の定理 · PythagoLab

三平方の定理：破片を自分の手で斜辺上の正方形にはめ込み、趙爽の弦図と劉徽の出入相補、ユークリッドの証明におけるせん断、水槽を傾けて a² と b² の水で c² を満たすこと、ピタゴラス数の散布図を体験します。

教科：数学 · 対象：中学校 · 学習内容：パズルによる証明、出入相補、ユークリッド、ピタゴラス数

章の内容

直角三角形の三辺の上に、それぞれ正方形が一つあります。三平方の定理によれば、二つの小さい正方形の面積の和は、斜辺の上の大きな正方形の面積に等しく、a² + b² = c² です。

計算はあとにして、まず手を動かしてください。b² はすでに 4 片に切ってあります。それらを a² とともに c² の中へドラッグし、敷き詰められるか見てみましょう。

古代中国では、直角三角形の二本の直角を挟む辺を「勾」「股」、斜辺を「弦」と呼びました。三国時代の趙爽は「弦図」で、魏晋の劉徽は「出入相補」で三平方の定理を証明しました。

「出入相補」：図形から切り取った部分を別の場所へ移しても、面積は変わりません。

『原論』第1巻の第47命題です。直角の頂点 C から斜辺へ垂線を下ろし、c² を二つの長方形に分け、それらがそれぞれ a² と b² に等しいことを証明します。

アニメーションは、証明の中の合同な三角形を、面積を保つ三つの変換に置き換えます。せん断、回転、せん断です。

三平方の定理は、おそらく証明の数が最も多い定理で、三百種以上を集めた人もいます。ここではさらに二つ見ます。ピタゴラス学派の「並べ替え」と、アメリカ大統領ガーフィールドの「台形」です。

三つの正方形を同じ厚さの水槽にし、直角三角形の三辺につなぎます。

まず a² と b² に水を満たし、それから板全体をゆっくり回すと、水は c² へ流れ込みます。考えてみてください。満杯になりますか。あふれますか。

三辺がすべて整数の直角三角形で、その三辺の長さを一組のピタゴラス数といいます。たとえば 3、4、5 や 5、12、13 です。

正の整数 m > n を任意に取ると、a = m² − n²、b = 2mn、c = m² + n² は必ずピタゴラス数になります。m と n をドラッグするか、散布図の点をクリックしてみてください。