二次曲線 · ConicLab

円錐の切り口

一つの平面で対頂円錐を切ると、切り口は平面の傾きとともに変わります。平面が軸に垂直なときは円、少し傾けると楕円といいます、ある母線と平行なときは放物線といいます、上下二つの円錐を同時に切ると双曲線。

です。切断面と軸のなす角を β、円錐の半頂角を α とすると、離心率は e = cos β / cos α：β > α なら楕円、β = α なら放物線、β < α なら双曲線です。

ダンデランの双球

円錐の中に二つの球を置くと、どちらも円錐に接し、切断面にも接します。二つの球と切断面との接点 F₁、F₂ が、まさに切り口の焦点。

です。球の外の一点から球へ接線を引くと、接線の長さは等しくなります。切り口上の点 P から F₁ までの距離は、P から母線に沿って上の接円までの距離 PQ₁ に等しく、同様に PF₂ = PQ₂ です。

したがって PF₁ + PF₂ = Q₁Q₂ であり、これは二つの接円のあいだの母線の長さで、P の位置にはよりません。これが楕円の定義です。

楕円

平面内で、二つの定点 F₁、F₂ までの距離の和が定数 2a（2a > |F₁F₂|）である点の軌跡を楕円といいます。

細いひもの両端を焦点に固定し、ペンでひもを張って一周させると、楕円が描けます。

標準方程式は x²/a² + y²/b² = 1（a > b > 0）で、そのうち a² = b² + c²、離心率 e = c/a が 1 に近いほど、楕円は扁平になります。

双曲線

平面内で、二つの定点 F₁、F₂ までの距離の差の絶対値が定数 2a（0 < 2a < |F₁F₂|）である点の軌跡を双曲線。

といいます。標準方程式は x²/a² − y²/b² = 1 で、そのうち c² = a² + b²です。双曲線には二本の漸近線 y = ±(b/a)x があり、曲線から離れるほど、曲線はそれらに近づきます。

a = b のときを直角双曲線といい、漸近線は互いに垂直で、離心率は √2 です。

放物線

平面内で、一つの定点 F と一つの定直線 l（F は l 上にない）までの距離が等しい点の軌跡を放物線といいます。F が焦点、l が準線です。

標準方程式は y² = 2px（p > 0）、焦点は (p/2, 0)、準線は x = −p/2 です。p は焦点から準線までの距離です。

焦点を通り、対称軸に垂直な弦を通径といい、長さは 2p です。

離心率

三つの曲線は一つにまとめられます。平面内で、定点 F までの距離と定直線 l までの距離の比が定数 e である点の軌跡です。

0 < e < 1なら楕円、e = 1なら放物線、e > 1なら双曲線で、e が 0 に近いほど楕円は円に近づきます。

e のスライダーをドラッグすると、曲線が円から楕円、放物線、双曲線へと連続的に変わる様子が見られます。

光学的性質

楕円の一つの焦点から出た光は、楕円で反射したあともう一つの焦点。

へ集まります。放物線の焦点から出た光は、反射したあと対称軸に平行に出ていきます。サーチライトや衛星アンテナは、この原理を使います。

双曲線の一つの焦点から出た光は、反射の逆向きの延長が通る先がもう一つの焦点。

光源を焦点から離すと、反射光はもはや集まりません。

直線と二次曲線

直線の方程式 y = kx + m を曲線の方程式に代入し、y を消去すると x の方程式が得られます。二次の係数がゼロでないとき、判別式 Δで位置関係を判断します。Δ > 0 なら交わる、Δ = 0 なら接する、Δ < 0 なら離れる、です。

弦の長さ |AB| = √(1 + k²)·|x₁ − x₂| です。楕円では、弦 AB の中点を M とすると、kAB · kOM = −b²/a² です（点差法）。