数学のふしぎ · WonderLab

数学の楽しみ：無作為な跳躍からシェルピンスキーの三角形が育ち、コッホの雪片は周が無限で、風に揺れるフラクタルの木、三次元のメビウスの帯の上のアリ・塗り・切断、黄金分割の小さなゲームと限りなく拡大できるらせん、ヒマワリの黄金角。

教科：数学 · 対象：中学校、高校 · 学習内容：フラクタル、メビウスの帯、黄金分割、葉序

章の内容

ゲームを一つしましょう。三角形の中に好きな点を取り、それから繰り返します。頂点を無作為に一つ選び、そこまでの距離の半分だけ跳んで、点を打ちます。

一歩一歩は無作為なのに、何万もの点を打つと現れるのは、精緻で整った図形です。シェルピンスキーの三角形です。そのどの小片も全体と同じ形をしています。これを自己相似といい、フラクタルのしるしです。

正三角形から始め、各辺を三等分し、中央の区間の外側に小さな正三角形を生やします。新しい各辺について、この手順を繰り返します。

雪の結晶の辺はますます折れ曲がり、周の長さに上限はなく、面積は一定の値を超えることがありません。

幹の先から、少し短い枝が二本生え、各枝の先からまた二本……一つの規則だけで、木が一本まるごと育ちます。

自然界の木、川、血管、稲妻には、どれもこの「二つに分かれ、段階ごとに小さくなる」フラクタルの構造があります。

長い紙テープの一端を半回転ねじり、もう一端と貼り合わせると、メビウスの帯ができます（ドイツの数学者メビウス、1858）。

面は一つ、辺も一つだけです。ドラッグして回転しながら観察し、アリを歩かせ、色を塗り、中心線に沿って切ると何が起きるか見てみましょう。

線分 AB を二区間に分け、AG : AB = GB : AG となるようにします。この比はおよそ 0.618 で、黄金比といいます。その逆数は φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618 です。

まず目分量で黄金分割点を探し、それから黄金らせんやフィボナッチ数列との関係を見てみましょう。

ヒマワリの花盤では、新しい種子が一つ生えるたびに、前の種子から一定の角度だけ回ります。

この角度をいくらにすると、種子が最も密に並ぶでしょうか。スライダーをドラッグしてみてください。0.数度違うだけで、模様はまったく変わります。