電場と磁場 · FieldLab

電気力線と等電位面

点電荷のまわりの電場は E = kQ/r²，複数の電荷による電場はベクトルとして重ね合わせられます。電場は電気力線で表します。線上の各点の接線の向きが電場の向き，線の密度が電場の強さを表します。電気力線は正電荷（または無限遠）から出て負電荷（または無限遠）で終わり，交わることも閉じることもありません。

電位 φ = kQ/r はスカラーなので，そのまま足し合わせます。電位の等しい点を結ぶと等電位線になります：

等電位線はいたるところで電気力線と垂直，電気力線の向きに電位は下がる

電荷をドラッグして位置を変え，プローブをドラッグして任意の点の E と φ を読み取りましょう。3D 電位面をオンにすると，正電荷は「山」，負電荷は「谷」になり，電気力線は「最も急な下り坂の向き」になります。

静電気力の仕事と電位エネルギー

試験電荷 q を点 A から点 B へ動かすとき，静電気力のする仕事は

WAB = q (φA − φB) = q UAB

始点と終点の位置だけで決まり，経路によらない——重力のする仕事と同じです。そこで電位エネルギー Ep = qφ を定義できます。静電気力が正の仕事をすると電位エネルギーは減少し，負の仕事をすると増加します。

直線・折れ線・曲線の 3 つの経路でそれぞれ q を動かすと，データドックの W - s グラフは異なりますが，終点では同じ値に集まります。点 A，B をドラッグしたり，試験電荷を負電荷に変えたりして試してみましょう。

平行板コンデンサー

互いに絶縁され，近接して向かい合う 2 枚の平行な金属板は平行板コンデンサーをつくります。その電気容量は

C = εr S / (4πkd) = εrε0 S / d

充電後に電源を切り離すと，極板の電気量 Q は一定なので，U = Q/C より，d を大きくする，向かい合う面積 S を小さくする，誘電体を抜く，のいずれでも C が小さくなり，検電器の針の振れ（U）が大きくなります。極板間の電場 E = U/d = Q/(εrε0S) は d によりません。

電源につないだままなら U は一定で，d を変えると Q と E が変化します。データを何組か記録すると，C - 1/d グラフは原点を通る直線になります。

ブラウン管（オシロスコープ）

フィラメントで加熱された陰極 K から電子が放出され，加速電圧 U₁ で加速されます：eU₁ = ½mv₀²。電子は速さ v₀ で偏向電極（長さ L，間隔 d）に垂直に入り，電場中で放物運動と同様の運動をします。偏向板を出るときの横ずれは

y = qU₂L² / (2mdv₀²) = U₂L² / (4dU₁)

その後は等速直線運動で蛍光面に当たり，偏向板の中点からまっすぐ飛び出したように見えます。ずれは U₂ に比例し，これがオシロスコープで電圧を測る原理です。

X 偏向板にのこぎり波の掃引電圧を加えると，電子ビームは画面を左から右へ一定の速さで掃引します。Y 板に測定したい信号を加えると，画面に信号の波形が描かれます。

磁力線

ガラス板に砂鉄を均一にまき，板を軽くたたくと，磁化された砂鉄が磁場の向きに沿って曲線状に並びます。方位磁針を置くと，静止したときの N 極の向きがその点の磁場の向きです。

磁力線は磁石の外部では N 極から出て S 極へ，内部では S 極から N 極へ向かう閉じた曲線です。

電流も磁場をつくります（エルステッド）。直線電流の磁力線は同心円で，向きは右ねじの法則で判断します：

直線電流 B = μ₀I / (2πr)

円形電流や電流を流したソレノイドの磁場は棒磁石の磁場に似ており，ソレノイド内部はほぼ一様な磁場です。

電流が磁場から受ける力

2 本の水平な金属レールの上に銅棒を横に置き，U 字形磁石の両極の間に入れます。スイッチを入れると銅棒に電流が流れ，銅棒は電流が磁場から受ける力によってレールの上を転がります。

F = B I L

L は磁場中にある導体の有効な長さです（磁石が多いほど L は長くなります）。力の向きはフレミングの左手の法則で判断します。左手の中指を電流の向き，人差し指を磁場の向きに合わせると，親指が力の向きを指します。

電流の向きか磁極のどちらかを逆にすると銅棒の運動の向きは逆になり，両方を逆にすると向きは変わりません。

ローレンツ力

磁場中を運動する電荷はローレンツ力 F = qvB（v ⊥ B）を受け，向きはフレミングの左手の法則で判断します（負電荷では正電荷と逆向き）。ローレンツ力はつねに速度に垂直なので仕事をせず，速度の向きだけを変えます。

電子線偏向管（e/m 測定装置）：ヘルムホルツコイルが一様な磁場をつくり，ガラス球内の希薄な気体によって電子ビームの軌跡が光ります。磁場に垂直に入射した電子は等速円運動をします：

r = mv / (qB) T = 2πm / (qB)

電子銃を傾けると速度に B と平行な成分ができ，軌跡はらせんになります。

速度選択器：電場と磁場が互いに垂直なとき，qE = qvB，すなわち v = E / B を満たす粒子だけがまっすぐスリットを通り抜けます。

質量分析器とサイクロトロン

質量分析器：電圧 U で加速されたイオンはスリット S から一様な磁場に垂直に入り，半円を描いて写真乾板に当たります：

qU = ½mv² r = mv/(qB) = √(2mU/q) / B

電気量が同じ同位体では質量が大きいほど半径が大きく，乾板上にいくつものスペクトル線ができます。r₁ : r₂ = √m₁ : √m₂。アストンはこうしてネオンの同位体を発見しました。

サイクロトロン：2 つの D 字形電極（ディー）を一様な磁場中に置き，すき間に交流電圧を加えます。粒子はすき間を通るたびに加速され，半径はどんどん大きくなりますが，周期 T = 2πm/(qB) は速さによらないので，交流電圧の周波数は一定でかまいません。最終的な運動エネルギー

Ek = q²B²R² / (2m)

は B と D 字形電極の半径 R だけで決まり，加速電圧にはよりません。

電磁誘導とレンツの法則

閉回路を貫く磁束が変化すると，回路に誘導電流が流れます——電磁誘導（ファラデー）。誘導起電力は

E = N ΔΦ / Δt

磁石をドラッグしてコイルに出し入れすると検流計の針が振れ，磁石を止めると針は 0 に戻ります。速く出し入れするほど振れは大きくなります。

レンツの法則：誘導電流のつくる磁場は，誘導電流を生じさせる磁束の変化を妨げる向きに生じます——「近づけば退け，遠ざかれば引き止める」。

導体棒が磁場中で磁力線を横切ると E = BLv。誘導電流によって棒は運動と逆向きの力 F = B²L²v/R を受け，一定の力で引くと棒はやがて等速運動になります。

交流発電機

長方形コイルが一様な磁場中で磁場に垂直な軸のまわりに等速で回転すると，辺 ab，cd が磁力線を横切り，コイルには大きさと向きが周期的に変わる交流が生じます。中性面から時間を測ると：

e = Em sin ωt Em = NBSω

コイル面が磁場と垂直になる位置を中性面といいます。このとき磁束は最大ですが，どの辺も磁力線を横切らないので起電力は0 です。90° 回ると磁束は 0，起電力は最大になります。中性面を通るたびに電流の向きが変わります。

正弦波交流の実効値は E = Em / √2 です。交流と直流を同じ抵抗に同じ時間流したとき，発生する熱量が等しくなる値です。

自由実験

実験台に点電荷を自由に置き，右半分に一様な磁場の領域をつくって，粒子銃から電子・陽子・α 粒子を発射し，電場と磁場の中での軌跡を観察しましょう（Boris 法で 1 ステップずつ計算）。

· パネルのボタンをクリックして電荷を追加し，ドラッグで移動，選択して Delete で削除· 粒子銃をドラッグして移動し，金色のリングをドラッグして発射方向を変更· 粒子の運動はスローモーションで再生

電子を正電荷のまわりで周回させたり，陽子を磁場の中で半円を描いて戻ってこさせたりしてみましょう。