진동과 파동 · WaveLab

용수철 진자

연직으로 매단 용수철의 아래 끝에 추가 달려 있습니다. 추를 아래로 조금 당겼다가 놓으면 평형 위치를 중심으로 위아래로 왕복 운동합니다. 복원력은 변위에 비례하고 방향은 반대입니다:

F = −kx

이러한 운동을 단진동이라고 합니다. 추에 달린 펜이 일정한 속력으로 움직이는 기록 테이프에 그리는 x-t 그래프는 사인 곡선입니다.

T = 2π√(m/k)

주기는 진폭과 관계없고, 진동자의 질량 m과 용수철 상수 k로만 결정됩니다. m과 k를 바꾸며 주기를 기록하고 T-√m 그래프를 그려 보세요.

단진자

가는 실의 아래 끝에 작은 공을 매답니다. 진폭 각이 작을 때 공은 거의 단진동을 합니다. 광게이트가 공이 최저점을 지날 때마다 시각을 기록하여 주기를 측정합니다:

T = 2π√(L/g)

단진자의 주기는 추의 질량이나 (각이 작을 때의) 진폭과 관계없고, 진자의 길이 L과 그 장소의 중력 가속도 g에만 관계됩니다. 이것이 진자의 등시성이며, g를 측정하는 방법이기도 합니다: T²-L 그래프를 그리면 기울기는 k = 4π²/g입니다.

진폭 각을 30° 이상으로 키우면 실측 주기가 공식 값보다 커집니다. 달이나 화성에서도 해 보세요. 주기가 길어집니다.

단진동의 에너지

추는 최고점에서 속력이 0이므로 운동 에너지는 0, 위치 에너지는 최대입니다. 최저점을 지날 때 속력이 가장 크므로 운동 에너지는 최대, 위치 에너지는 최소입니다. 저항이 없으면 운동 에너지와 위치 에너지가 서로 전환되며 역학적 에너지가 보존됩니다:

E = Eₖ + Eₚ = 일정

감쇠를 키우면 역학적 에너지가 점차 내부 에너지로 바뀌어 진폭이 점점 작아집니다. 이것이 감쇠 진동입니다. 주의: 감쇠 진동의 주기는 거의 변하지 않습니다.

강제 진동과 공명

모터가 편심 바퀴로 용수철의 위쪽 끝을 주기적으로 위아래로 움직이면, 진동자는 구동력을 받아 강제 진동을 합니다. 정상 상태가 되면 진동자의 진동수는 구동력의 진동수와 같아지며 고유 진동수와는 관계없습니다.

구동 진동수가 진동자의 고유 진동수 f₀ = (1/2π)√(k/m)에 가까울수록 진폭이 커지고, 둘이 같을 때 진폭이 최대가 됩니다. 이것이 공명입니다.

"구동 진동수 스캔"을 누르면 공명 곡선이 자동으로 그려집니다. 감쇠가 작을수록 공명 봉우리가 높고 뾰족해집니다. 군대가 다리를 건널 때 발을 맞추지 않는 것, 세탁기의 진동 방지 장치 모두 공명과 관련이 있습니다.

역학적 파동의 형성

한 줄로 늘어선 입자들이 탄성력으로 서로 연결되어 있습니다. 왼쪽 끝 입자가 외력을 받아 진동하면 이웃한 입자들을 차례로 진동시키고, 진동의 형태와 에너지가 이렇게 전달되어 역학적 파동이 만들어집니다.

입자 자체는 파동을 따라 이동하지 않고 각자의 평형 위치 근처에서 진동할 뿐이라는 점에 주의하세요(빨간 입자를 보세요). 입자의 진동 방향이 진행 방향에 수직인 파동은 횡파, 같은 직선 위에 있는 파동은 종파이며 소한 부분과 밀한 부분이 생깁니다.

v = λ f = λ / T

파동의 반사

줄의 한쪽 끝에서 펄스를 보내면, 펄스가 다른 쪽 끝에 도달한 뒤 반사되어 돌아옵니다.

· 고정단: 줄 끝이 고정되어 움직일 수 없습니다. 반사파는 입사파와 위상이 반대(마루가 골이 됨)이며, 반 파장을 잃은 것과 같습니다. 이를 반파장 손실(위상 반전)이라고 합니다.· 자유단: 줄 끝이 매끄러운 연직 막대에 끼워져 자유롭게 미끄러질 수 있습니다. 반사파는 입사파와 위상이 같습니다.

반사 전후에 파동의 속력은 변하지 않습니다.

파동의 중첩과 정상파

여러 파동이 만나면 각 입자의 변위는 각 파동이 단독으로 일으키는 변위의 합과 같습니다. 이것이 파동의 중첩 원리입니다. 만난 뒤 각 파동은 원래 모양을 유지하며 계속 진행합니다.

파원은 왼쪽 끝에서 계속 진동하고, 파동은 오른쪽 고정단에서 반사되어 입사파와 반사파가 중첩됩니다. 줄의 길이가 반 파장의 정수배와 정확히 같을 때 안정된 정상파가 생깁니다. 항상 움직이지 않는 점(마디)과 진폭이 가장 큰 점(배)이 있습니다.

fₙ = n v / 2L (n = 1, 2, 3 …)

기타와 바이올린의 줄은 이렇게 소리를 냅니다.

물결파의 간섭과 회절

진동 상태가 완전히 같은 두 파원(결맞는 파원)이 수면에 물결파를 일으킵니다. 어떤 점에서 두 파원까지의 경로차가 파장의 정수배이면 진동이 보강되고, 반 파장의 홀수배이면 상쇄됩니다. 수면에는 보강 영역과 상쇄 영역이 번갈아 안정적으로 나타납니다. 이것이 파동의 간섭입니다.

Δr = kλ 보강 Δr = (2k+1)λ/2 상쇄

단일 슬릿으로 바꿔 보세요: 평면파가 가림판의 틈을 지나면 모든 방향으로 퍼져 나갑니다. 이것이 회절입니다. 틈의 폭이 파장보다 작거나 비슷할 때 회절이 가장 뚜렷합니다.

도플러 효과

음원이 관찰자에게 다가올 때 앞쪽의 파면이 "압축"되어 파장이 짧아지므로 관찰자에게는 진동수가 높아진 소리가 들립니다. 음원이 멀어지면 파장이 길어지고 진동수가 낮아집니다. 이것이 도플러 효과입니다:

f′ = f · v / (v ∓ vₛ)

소리를 켜고 "청취자 위치"를 바꿔 가며 음높이의 변화를 들어 보세요. 음원의 속력이 음속을 넘으면 파면이 겹쳐 원뿔이 됩니다. 이것이 마하 원뿔이며, 소닉 붐이 발생합니다.

소리의 특성과 공명

소리는 물체의 진동으로 생기며 음파의 형태로 전달됩니다. 오실로스코프는 마이크가 받은 파형을 보여 줍니다:

· 소리의 세기는 진폭으로 결정· 음높이는 진동수로 결정· 음색은 파형(배음의 구성)으로 결정. 소리굽쇠는 거의 순수한 사인파이고, 피아노와 바이올린은 배음이 풍부합니다.

소리굽쇠를 쳐서 공명관 입구에 대고, 수면 높이를 조절하여 공기 기둥의 길이 L을 바꿉니다.

L = (2n − 1) λ / 4

일 때 공기 기둥이 공명하여 소리가 뚜렷하게 커집니다. 두 공명 길이의 차 λ/2로부터 음속을 구할 수 있습니다.

자유 실험

모든 변수를 자유롭게 바꿀 수 있습니다: 왼쪽 끝의 진동 방식, 오른쪽 끝의 경계, 파동의 속력, 진동수, 진폭, 감쇠.

해 보세요:

· 왼쪽 끝 구동, 오른쪽 끝 흡수: 계속되는 진행파· 왼쪽 끝 구동, 오른쪽 끝 고정: 정상파· 왼쪽 끝 펄스, 오른쪽 끝 자유: 같은 위상의 반사· 감쇠를 키우기: 파동이 진행하면서 감쇠