입체 기하 · GeoSpace

입체도형 알아보기

여러 평면 다각형으로 둘러싸인 입체도형을 다면체라고 하고, 평면 도형이 한 직선 주위를 회전하여 생긴 입체도형을 회전체라고 합니다.

무대를 끌어 입체도형을 회전합니다. 보이지 않는 모서리는 점선으로 그리며, 이것이 입체도형을 그리는 약속입니다.

다면체의 꼭짓점 수 V, 모서리 수 E, 면 수 F를 세어 보면 항상 오일러 공식 V − E + F = 2를 만족합니다.

펼치기와 접기

입체도형의 겉면을 일부 모서리를 따라 잘라 펼치면 전개도가 됩니다. 겉넓이는 전개도의 넓이입니다.

원기둥의 옆면을 펼치면 직사각형이고, 원뿔의 옆면을 펼치면 부채꼴입니다. 정육면체의 서로 다른 전개도는 11가지입니다.

겉면 위 두 점 사이의 최단 경로를 구하려면, 경로가 지나는 면을 한 평면으로 펼친 뒤 직선을 잇습니다.

삼면도와 직관도

정면, 왼쪽, 위에서 입체도형을 보면 각각 정면도, 좌측면도, 평면도가 됩니다. 셋은 “길이는 맞추고, 높이는 가지런히, 너비는 같게”를 만족합니다.

격자 위를 누르면 작은 정육면체를 쌓고, 오른쪽 버튼(또는 “제거”로 바꾸기)으로 정육면체를 치웁니다. 삼면도는 함께 바뀝니다. 삼면도가 같아도 쌓는 방법은 하나가 아닐 수 있습니다.

사투상법은 수평으로 놓은 평면도형의 직관도를 그릴 때 씁니다.

단면

평면으로 입체도형을 잘라 생기는 평면도형을 단면이라고 합니다. 단면의 각 변은 자른 평면과 입체도형의 한 면이 만나는 선입니다.

모서리 위의 세 점 P, Q, R을 끌어 자른 평면을 정하거나, “자유” 모드로 바꾸어 평면의 방향과 위치를 조절합니다.

정육면체의 단면은 삼각형, 사각형, 오각형, 육각형이 될 수 있지만, 삼각형 단면은 반드시 예각삼각형이고 정오각형은 자를 수 없습니다.

공간각

공간의 각은 모두 평면각으로 바꾸어 구합니다.

꼬인 직선이 이루는 각: 한 직선을 평행이동하여 두 직선이 만나게 했을 때의 예각 또는 직각이며, 범위는 (0°, 90°]입니다.

직선과 평면이 이루는 각: 빗선과 평면 위 정사영이 이루는 각이며, 범위는 [0°, 90°]입니다.

이면각: 모서리 위의 한 점에서 두 면 안에 모서리에 수직인 반직선을 각각 그었을 때 두 반직선이 이루는 각이며, 범위는 [0°, 180°]입니다.

모서리, 대각선, 면을 눌러 대상을 고르거나 예제를 바로 고를 수 있습니다.

공간 벡터와 좌표

공간 좌표를 잡으면 점은 좌표를 갖고, 직선은 방향 벡터를, 평면은 법선 벡터를 갖습니다. 공간의 각과 거리는 벡터 연산으로 구할 수 있어 보조선이 필요 없습니다.

꼬인 직선: cos θ = |a·b| / (|a||b|). 직선과 평면이 이루는 각: sin θ = |a·n| / (|a||n|). 이면각: 법선 벡터의 사잇각으로 구하며, 예각인지 둔각인지는 그림으로 봅니다. 점에서 평면까지의 거리: d = |AP·n| / |n|.

오른쪽에는 벡터 방법의 결과와 5단원의 기하 방법을 나란히 비교합니다.

외접구와 내접구

입체도형의 모든 꼭짓점이 구면에 있으면 그 구를 외접구라고 하고, 구가 모든 면에 접하면 내접구라고 합니다.

외접구를 구할 때의 핵심은 구의 중심입니다. 구의 중심에서 각 꼭짓점까지의 거리는 같습니다. 직육면체 외접구의 지름은 공간 대각선입니다.

정사면체와, 세 모서리가 서로 수직인 삼각뿔은 정육면체나 직육면체로 보탤 수 있고, 그때 외접구는 같습니다.

형성 평가

단면, 전개도, 삼면도 세 종류의 문제이며, 각 묶음은 무작위로 5문제입니다. 답을 고르면 무대가 풀이를 보여 줍니다.