원뿔 곡선 · ConicLab

원뿔의 절단면

평면으로 이중 원뿔을 자르면 절단면은 평면의 기울기에 따라 달라집니다. 평면이 축에 수직이면 원, 조금 기울이면 타원, 한 모선과 나란하면 포물선, 위아래 두 원뿔을 함께 자르면 쌍곡선입니다.

단면과 축이 이루는 각을 β, 원뿔의 반꼭지각을 α라 하면 이심률은 e = cos β / cos α입니다. β > α이면 타원, β = α이면 포물선, β < α이면 쌍곡선입니다.

Dandelin 두 구

원뿔 안에 두 구를 넣으면, 둘 다 원뿔에 접하고 자른 평면에도 접합니다. 두 구가 자른 평면에 닿는 점 F₁, F₂가 바로 절단면의 초점입니다.

구 밖의 한 점에서 그은 접선의 길이는 같습니다. 절단면 위의 점 P에서 F₁까지의 거리는, P에서 모선을 따라 위쪽 접원에 이르는 거리 PQ₁과 같습니다. 마찬가지로 PF₂ = PQ₂입니다.

따라서 PF₁ + PF₂ = Q₁Q₂이며, 이것은 두 접원 사이의 모선 길이로 P의 위치와 관계없습니다. 이것이 타원의 정의입니다.

타원

평면 위에서 두 정점 F₁, F₂까지의 거리의 합이 상수 2a(2a > |F₁F₂|)인 점의 자취를 타원이라고 합니다.

실의 양 끝을 초점에 고정하고 펜으로 실을 팽팽하게 한 바퀴 돌리면 타원이 그려집니다.

표준 방정식은 x²/a² + y²/b² = 1(a > b > 0)이고, 이때 a² = b² + c²입니다. 이심률 e = c/a가 1에 가까울수록 타원은 더 납작합니다.

쌍곡선

평면 위에서 두 정점 F₁, F₂까지의 거리의 차의 절댓값이 상수 2a(0 < 2a < |F₁F₂|)인 점의 자취를 쌍곡선이라고 합니다.

표준 방정식은 x²/a² − y²/b² = 1이고, 이때 c² = a² + b²입니다. 쌍곡선에는 두 점근선 y = ±(b/a)x가 있으며, 곡선에서 멀어질수록 곡선은 점근선에 더 붙습니다.

a = b이면 직각쌍곡선이라고 하며, 점근선은 서로 수직이고 이심률은 √2입니다.

포물선

평면 위에서 한 정점 F와 한 정직선 l(F는 l 위에 있지 않음)까지의 거리가 같은 점의 자취를 포물선이라고 합니다. F는 초점, l은 준선입니다.

표준 방정식은 y² = 2px(p > 0)이고, 초점은 (p/2, 0), 준선은 x = −p/2입니다. p는 초점에서 준선까지의 거리입니다.

초점을 지나고 대칭축에 수직인 현을 통경이라고 하며, 길이는 2p입니다.

이심률

세 곡선을 하나로 말할 수 있습니다. 평면 위에서 정점 F까지의 거리와 정직선 l까지의 거리의 비가 상수 e인 점의 자취입니다.

0 < e < 1이면 타원, e = 1이면 포물선, e > 1이면 쌍곡선입니다. e가 0에 가까울수록 타원은 더 원에 가깝습니다.

e 슬라이더를 끌어 곡선이 원에서 타원, 포물선, 쌍곡선으로 이어지는 모습을 봅니다.

광학 성질

타원의 한 초점에서 나온 빛은 타원에서 반사된 뒤 다른 초점으로 모입니다.

포물선의 초점에서 나온 빛은 반사된 뒤 대칭축과 나란히 나갑니다. 탐조등과 위성 안테나가 이 원리를 씁니다.

쌍곡선의 한 초점에서 나온 빛은 반사된 뒤 그 연장선이 다른 초점을 지납니다.

광원을 초점 밖으로 끌어내면 반사광은 더 이상 모이지 않습니다.

직선과 원뿔 곡선

직선 방정식 y = kx + m을 곡선 방정식에 넣고 y를 없애면 x에 대한 방정식이 됩니다. 이차항의 계수가 0이 아니면 판별식 Δ로 위치 관계를 판단합니다. Δ > 0이면 두 점에서 만나고, Δ = 0이면 접하며, Δ < 0이면 만나지 않습니다.

현의 길이 |AB| = √(1 + k²)·|x₁ − x₂|입니다. 타원에서 현 AB의 중점이 M이면 kAB · kOM = −b²/a²입니다(두 점의 식을 빼는 방법).