함수 그래프 · FuncLab

그래프 변환

기본 함수 y = f(x)에서 출발하면 y = a·f(b(x − h)) + k의 그래프는 네 단계 변환으로 얻습니다.

h는 좌우 평행이동(“왼쪽은 더하고 오른쪽은 뺌”), k는 위아래 평행이동, a는 세로 신축(a < 0이면 x축에 대해 뒤집기도 함), b는 가로를 원래의 1/b로 신축합니다.

흐린 곡선이 원래 함수이고, 점은 특징점이 변환 전후에 있는 위치입니다.

지수와 로그

y = aˣ과 y = logₐx(a > 0이고 a ≠ 1)는 서로 역함수이며, 그래프는 직선 y = x에 대해 대칭입니다.

a > 1이면 둘 다 증가함수이고, 0 < a < 1이면 둘 다 감소함수입니다. 지수함수는 항상 (0, 1)을 지나고, 로그함수는 항상 (1, 0)을 지납니다.

곡선 위의 점을 끌어 y = x에 대한 대칭점을 봅니다.

단위원과 삼각함수

각 θ의 동경이 단위원과 만나는 점이 P(cos θ, sin θ)입니다. P의 세로좌표가 sin θ이고, 가로좌표가 cos θ입니다.

θ를 돌리며 P의 높이를 θ에 따라 기록하면 사인 곡선 y = sin x로 “펼쳐”집니다. 한 바퀴는 2π이므로 사인 함수의 주기는 2π입니다.

사인형 함수

y = A sin(ωx + φ) + k에서 A는 진폭, ω는 주기 T = 2π/ω, φ는 초기 위상, k는 그래프의 위아래 평행이동을 정합니다.

y = sin x에서 시작하면 먼저 왼쪽으로 φ만큼 옮긴 뒤 가로좌표를 원래의 1/ω로 줄입니다. 먼저 늘이고 줄이면 φ/ω만큼만 옮기면 됩니다.

“다섯 점법”: ωx + φ를 차례로 0, π/2, π, 3π/2, 2π로 두어 한 주기 안의 핵심 점 다섯 개를 찍습니다.

도함수의 기하적 의미

곡선 위의 점 P(x₀, f(x₀))와 Q(x₀ + h, f(x₀ + h))에 대해 할선 PQ의 기울기는 평균변화율 (f(x₀ + h) − f(x₀)) / h입니다.

h → 0이면 Q가 곡선을 따라 P로 다가가고, 할선은 접선에 가까워집니다. 접선의 기울기가 도함수 f′(x₀)입니다.

단조성과 극값

위 그래프는 f(x)이고, 아래 그래프는 도함수 f′(x)입니다.

f′(x) > 0인 구간에서 f(x)는 증가하고, f′(x) < 0인 구간에서 감소합니다.

f′(x)가 양에서 음으로 바뀌는 점은 극댓값이고, 음에서 양으로 바뀌는 점은 극솟값입니다. f′(x₀) = 0이어도 부호가 바뀌지 않는 점(예를 들어 x³의 x = 0)은 극값이 아닙니다.

영점과 이분법

f(x)가 [a, b]에서 연속이고 f(a)·f(b) < 0이면, (a, b) 안에 영점이 적어도 하나 있습니다(영점 존재 정리).

이분법: 중점 m을 잡아 f(m)의 부호를 보고, 여전히 부호가 다른 절반 구간을 남깁니다. 단계마다 구간의 길이가 반으로 줄며, 필요한 정밀도에 이를 때까지 반복합니다.

구간의 끝점을 끌어 옮기거나 “다음”을 눌러 한 단계씩 이분합니다.

정적분(심화)

곡선 아래 도형의 넓이를 구하려면 [a, b]를 n등분하고 각 구간을 직사각형으로 근사합니다. 직사각형 넓이의 합을 리만 합이라고 합니다.

n이 커질수록 직사각형은 좁아지고 리만 합은 곡선 아래 넓이에 가까워집니다. 이 극한이 정적분 ∫ₐᵇ f(x) dx입니다.

왼쪽 끝, 오른쪽 끝, 중점을 높이로 삼는 세 가지 방법을 비교합니다.