재미있는 수학 · WonderLab

재미있는 수학입니다. 무작위 점프로 시에르핀스키 삼각형이 자라고, 코흐 눈송이는 둘레가 무한합니다. 바람에 흔들리는 프랙탈 나무, 3차원 뫼비우스 띠 위의 개미·색칠·자르기, 황금비 작은 놀이와 끝없이 확대되는 나선, 해바라기의 황금각이 있습니다.

과목: 수학 · 대상: 중학교, 고등학교 · 학습 내용: 프랙탈, 뫼비우스 띠, 황금비, 잎차례

단원 내용

게임을 하나 합니다. 삼각형 안에서 점을 아무 데나 잡은 뒤 계속 반복합니다. 꼭짓점을 무작위로 골라 그쪽으로 거리의 절반을 뛰어 점을 찍습니다.

매 단계는 무작위인데, 점을 수만 개 찍으면 정교하고 규칙적인 그림이 나타납니다. 시에르핀스키 삼각형입니다. 작은 조각마다 전체와 똑같이 생겼고, 이것을 자기 유사라고 하며 프랙탈의 특징입니다.

정삼각형에서 시작합니다. 각 변을 삼등분하고 가운데 부분에 밖으로 작은 정삼각형을 붙입니다. 새로 생긴 모든 변에 같은 단계를 반복합니다.

눈송이의 변은 점점 더 구불거립니다. 둘레에는 상한이 없지만, 넓이는 어떤 정해진 값을 넘지 않습니다.

줄기 끝에서 더 짧은 가지 두 개가 나고, 각 가지 끝에서 다시 두 개가 납니다…… 규칙 하나만으로 나무 한 그루가 자랍니다.

자연의 나무, 강, 혈관, 번개에는 모두 이렇게 “둘로 나뉘며 단계마다 작아지는” 프랙탈 구조가 있습니다.

긴 종이 띠의 한 끝을 반 바퀴 비튼 뒤 다른 끝과 붙이면 뫼비우스 띠가 됩니다(독일 수학자 뫼비우스, 1858).

면이 하나이고 변이 하나입니다. 끌어 돌려 살펴본 뒤, 개미를 걷게 하거나 색을 칠하거나 가운데를 따라 잘라 무슨 일이 생기는지 봅니다.

선분 AB를 두 부분으로 나누어 AG : AB = GB : AG가 되게 합니다. 이 비는 약 0.618이며 황금비라고 합니다. 그 역수는 φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618입니다.

먼저 눈대중으로 황금분할점을 찾은 뒤, 황금 나선·피보나치 수열과의 관계를 봅니다.

해바라기 꽃판에서는 새 씨가 날 때마다 앞의 씨보다 일정한 각도만큼 돌아 자리를 잡습니다.

이 각도를 얼마로 하면 씨가 가장 빽빽하게 놓입니까? 슬라이더를 끌어 봅니다. 영점 몇 도만 달라도 무늬가 완전히 달라집니다.