피타고라스 정리 · PythagoLab

퍼즐 도전

직각삼각형의 세 변 위에 정사각형이 하나씩 있습니다. 피타고라스 정리는 두 작은 정사각형의 넓이 합이 빗변 위 큰 정사각형의 넓이와 같다고 말합니다. a² + b² = c²입니다.

계산하기 전에 먼저 움직여 봅니다. b²는 이미 4조각으로 잘려 있습니다. 그 조각과 a²를 c² 안으로 끌어 빈틈없이 채워지는지 봅니다.

잘라 옮겨 채우기

고대 중국에서는 직각삼각형의 두 직각변을 “구”와 “고”, 빗변을 “현”이라고 불렀습니다. 삼국 시대 조상은 “현도”로, 위진 시대 유휘는 “잘라 옮겨 채우기”로 피타고라스 정리를 증명했습니다.

“잘라 옮겨 채우기”: 도형에서 잘라 낸 부분을 다른 곳으로 옮겨도 넓이는 변하지 않습니다.

유클리드의 증명

『원론』 제1권 명제 47입니다. 직각의 꼭짓점 C에서 빗변에 수선을 그어 c²를 두 직사각형으로 나눈 뒤, 각각이 a², b²와 같음을 증명합니다.

애니메이션은 증명 속의 합동인 삼각형을 넓이가 유지되는 변환 세 가지로 바꿉니다. 전단, 회전, 전단입니다.

다른 증명

피타고라스 정리는 증명이 가장 많은 정리로, 300가지가 넘게 모은 사람도 있습니다. 여기서는 두 가지를 더 봅니다. 피타고라스학파의 “다시 배열”과 미국 대통령 가필드의 “사다리꼴”입니다.

물 붓기

세 정사각형을 두께가 같은 물통으로 만들어 직각삼각형의 세 변에 붙입니다.

먼저 a²와 b²에 물을 가득 채운 뒤 판 전체를 천천히 기울이면 물이 c²로 흘러갑니다. 먼저 짐작해 봅니다. 가득 찹니까? 넘칩니까?

피타고라스 수

세 변이 모두 정수인 직각삼각형의 세 변의 길이를 한 쌍의 피타고라스 수라고 합니다. 예를 들어 3, 4, 5와 5, 12, 13입니다.

양의 정수 m > n을 아무거나 잡으면 a = m² − n², b = 2mn, c = m² + n²는 반드시 피타고라스 수입니다. m, n을 끌어 보거나 산점도 위의 점을 누릅니다.