振動與波 · WaveLab

彈簧振子

豎直懸掛的彈簧下端掛著鉤碼。把鉤碼向下拉開一段距離後釋放，它在平衡位置附近上下往復運動。回復力與位移成正比、方向相反：

F = −kx

這樣的運動叫簡諧運動。鉤碼上的筆在等速移動的紙帶上畫出的 x-t 圖是一條正弦曲線。

T = 2π√(m/k)

週期與振幅無關，只由振子的質量 m 和彈簧的彈力常數 k 決定。改變 m、k 記錄週期，畫出 T-√m 圖。

單擺

細線下端繫著一個小球，擺角很小時小球近似做簡諧運動。光電閘記錄小球每次經過最低點的時刻，測出週期：

T = 2π√(L/g)

單擺的週期與擺球質量、振幅（擺角小時）無關，只與擺長 L 和當地的重力加速度 g 有關——這就是單擺的等時性，也是測量 g 的方法：畫出 T²-L 圖，斜率 k = 4π²/g。

把擺角增大到 30° 以上，實測週期會比公式值偏大；到月球或火星上試試，週期變長。

簡諧運動的能量

擺球在最高點速度為零，動能為零、位能最大；經過最低點時速度最大，動能最大、位能最小。沒有阻力時，動能與位能相互轉換，力學能守恆：

E = Eₖ + Eₚ = 常數

增大阻尼，力學能逐漸轉換為內能，振幅越來越小，這就是阻尼振動。注意：阻尼振動的週期幾乎不變。

受迫振動與共振

馬達透過偏心輪讓彈簧的上端週期性地上下運動，振子在驅動力作用下做受迫振動。穩定後振子的頻率等於驅動力的頻率，與自然頻率無關。

驅動頻率越接近振子的自然頻率 f₀ = (1/2π)√(k/m)，振幅越大；兩者相等時振幅最大——共振。

按「掃描驅動頻率」自動畫出共振曲線。阻尼越小，共振峰越高越尖。部隊過橋便步走、洗衣機的減震，都與共振有關。

力學波的形成

一排質點由彈性力相互連接。最左邊的質點在外力作用下振動，帶動相鄰質點依次振動，振動的形式和能量就這樣傳播出去，形成力學波。

注意質點本身並不隨波遷移，只是在各自的平衡位置附近振動（看紅色質點）。質點振動方向與傳播方向垂直的是橫波；在同一直線上的是縱波，形成疏部和密部。

v = λ f = λ / T

波的反射

在繩的一端甩出一個脈衝，脈衝傳到另一端後被反射回來。

· 固定端：繩端被夾住不能動，反射波與入射波反相（波峰變成波谷），相當於損失了半個波長——半波損失。· 自由端：繩端套在光滑豎桿上可以自由滑動，反射波與入射波同相。

反射前後波速不變。

波的疊加與駐波

幾列波相遇時，每個質點的位移等於各列波單獨引起的位移之和——波的疊加原理。相遇後各列波保持原來的形狀繼續傳播。

振源在左端持續振動，波在右端固定處反射，入射波與反射波疊加。當繩長恰好等於半波長的整數倍時形成穩定的駐波：有些點始終不動（波節），有些點振幅最大（波腹）。

fₙ = n v / 2L (n = 1, 2, 3 …)

吉他、小提琴的弦就是這樣發聲的。

水波的干涉與繞射

兩個振動情況完全相同的波源（相干波源）在水面激起水波。某點到兩波源的波程差為波長整數倍時振動加強，為半波長奇數倍時振動減弱，水面出現穩定的加強區和減弱區相間分布——波的干涉。

Δr = kλ 加強 Δr = (2k+1)λ/2 減弱

切換到單狹縫：平面波通過擋板上的狹縫後向各方向傳播，這就是繞射。縫寬比波長小或相差不多時，繞射最明顯。

都卜勒效應

聲源向觀察者靠近時，前方的波面被「擠」在一起，波長變短，觀察者聽到的頻率升高；聲源遠離時波長變長，頻率降低。這就是都卜勒效應：

f′ = f · v / (v ∓ vₛ)

打開聲音，切換「聽者位置」聽一聽音調的變化。聲源速度超過聲速時，波面疊加成一個圓錐——馬赫錐，產生音爆。

聲音的特性與共鳴

聲音由物體振動產生，以聲波的形式傳播。示波器顯示麥克風接收到的波形：

· 響度由振幅決定· 音調由頻率決定· 音色由波形（各次諧波的組成）決定——音叉幾乎是純正弦波，鋼琴、小提琴含有豐富的諧波。

敲響音叉放在共鳴管口，調節水面高度改變空氣柱長度 L。當

L = (2n − 1) λ / 4

時空氣柱發生共鳴，聲音明顯變響。由兩次共鳴的長度差 λ/2 可以測出聲速。

自由實驗

所有參數開放：左端的振動方式、右端的邊界、波速、頻率、振幅、阻尼。

試一試：

· 左端驅動、右端吸收：持續的行進波· 左端驅動、右端固定：駐波· 左端脈衝、右端自由：同相反射· 調大阻尼：波在傳播中衰減