立體幾何 · GeoSpace

幾何體認識

由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫多面體；由平面圖形繞一條直線旋轉形成的幾何體叫旋轉體。

拖動舞臺旋轉幾何體：看不見的稜畫成虛線，這是立體圖形的畫法約定。

數一數多面體的頂點數 V、稜數 E、面數 F，它們總滿足歐拉公式 V − E + F = 2。

展開與摺疊

把幾何體的表面沿某些稜剪開、攤平，得到它的展開圖。表面積就是展開圖的面積。

圓柱的側面展開是矩形，圓錐的側面展開是扇形。正方體共有 11 種不同的展開圖。

求表面上兩點間的最短路徑，先把路徑經過的面展開到同一平面，再連直線。

三視圖與直觀圖

從正前方、正左方、正上方觀察幾何體，分別得到主視圖、左視圖、俯視圖。三者滿足“長對正、高平齊、寬相等”。

在網格上點擊即可疊放小方塊，右鍵（或切換到“移除”）拿走方塊，三視圖同步更新。三視圖相同的幾何體，搭法不一定唯一。

斜二測畫法用來畫水平放置的平面圖形的直觀圖。

截面

用一個平面去截幾何體，得到的平面圖形叫截面。截面的每條邊都是截平面與幾何體某個面的交線。

拖動稜上的三個點 P、Q、R 確定截平面，或者切換到“自由”模式調整平面的方向和位置。

正方體的截面可以是三角形、四邊形、五邊形、六邊形，但截面三角形一定是銳角三角形，也截不出正五邊形。

空間角

空間角都要轉化為平面角來求：

異面直線所成角：平移其中一條直線，使兩條直線相交，所成銳角或直角，範圍 (0°, 90°]。

直線與平面所成角：斜線與它在平面內的射影所成的角，範圍 [0°, 90°]。

二面角：在稜上取一點，在兩個面內分別作垂直於稜的射線，兩射線所成的角，範圍 [0°, 180°]。

點擊稜或對角線、面來選擇對象，也可以直接選一道例題。

空間向量與座標

建立空間直角座標系後，點有座標，直線有方向向量，平面有法向量，空間角和距離都可以用向量運算求出，不必作輔助線。

異面直線：cos θ = |a·b| / (|a||b|)；線面角：sin θ = |a·n| / (|a||n|)；二面角：由法向量夾角得到，銳角還是鈍角要看圖形；點到平面的距離：d = |AP·n| / |n|。

右側把向量法的結果與第 5 章的幾何法放在一起對照。

外接球與內切球

幾何體的所有頂點都在球面上，這個球叫它的外接球；球與幾何體的所有面都相切，叫內切球。

求外接球的關鍵是找球心：球心到各頂點的距離相等。長方體的外接球直徑就是體對角線。

正四面體、三條稜兩兩垂直的三稜錐，可以補成正方體或長方體，它們的外接球相同。

隨堂檢測

截面、展開圖、三視圖三類題目，每組隨機 5 題。作答後舞臺會演示答案。