圓錐曲線 · ConicLab

圓錐的截線

用平面去截一個對頂圓錐，截線隨平面的傾斜程度變化：平面垂直於軸時是圓，稍微傾斜是橢圓，與某條母線平行時是拋物線，同時截到上下兩個圓錐時是雙曲線。

設截面與軸所成的角為 β，圓錐的半頂角為 α，則離心率 e = cos β / cos α：β > α 為橢圓，β = α 為拋物線，β < α 為雙曲線。

Dandelin 雙球

在圓錐裡放兩個球，都與圓錐相切、也與截平面相切。兩個球與截平面的切點 F₁、F₂ 正是截線的焦點。

從球外一點引球的切線，切線長相等。截線上的點 P 到 F₁ 的距離，等於 P 沿母線到上方切圓的距離 PQ₁；同理 PF₂ = PQ₂。

所以 PF₁ + PF₂ = Q₁Q₂，是兩個切圓之間的母線長，與 P 的位置無關：這就是橢圓的定義。

橢圓

平面內到兩個定點 F₁、F₂ 的距離之和等於常數 2a（2a > |F₁F₂|）的點的軌跡叫橢圓。

把細繩兩端釘在焦點上，用筆拉緊繩子轉一圈，就畫出一個橢圓。

標準方程 x²/a² + y²/b² = 1（a > b > 0），其中 a² = b² + c²，離心率 e = c/a 越接近 1，橢圓越扁。

雙曲線

平面內到兩個定點 F₁、F₂ 的距離之差的絕對值等於常數 2a（0 < 2a < |F₁F₂|）的點的軌跡叫雙曲線。

標準方程 x²/a² − y²/b² = 1，其中 c² = a² + b²。雙曲線有兩條漸近線 y = ±(b/a)x，離曲線越遠，曲線越貼近它們。

a = b 時叫等軸雙曲線，漸近線互相垂直，離心率為 √2。

拋物線

平面內到一個定點 F 和一條定直線 l（F 不在 l 上）的距離相等的點的軌跡叫拋物線。F 是焦點，l 是準線。

標準方程 y² = 2px（p > 0），焦點 (p/2, 0)，準線 x = −p/2。p 是焦點到準線的距離。

過焦點且垂直於對稱軸的弦叫通徑，長為 2p。

離心率

三種曲線可以統一起來：平面內到定點 F 的距離與到定直線 l 的距離之比為常數 e 的點的軌跡。

0 < e < 1 是橢圓，e = 1 是拋物線，e > 1 是雙曲線；e 越接近 0，橢圓越圓。

拖動 e 的滑塊，看曲線如何連續地從圓變成橢圓、拋物線、雙曲線。

光學性質

從橢圓一個焦點發出的光，經橢圓反射後匯聚到另一個焦點。

從拋物線焦點發出的光，反射後平行於對稱軸射出，探照燈、衛星天線都用這個原理。

從雙曲線一個焦點發出的光，反射後的反向延長線經過另一個焦點。

拖動光源離開焦點，反射光就不再匯聚。

直線與圓錐曲線

把直線方程 y = kx + m 代入曲線方程，消去 y 得到關於 x 的方程。二次項係數不為零時，用判別式 Δ 判斷位置關係：Δ > 0 相交，Δ = 0 相切，Δ < 0 相離。

弦長 |AB| = √(1 + k²)·|x₁ − x₂|。橢圓中，弦 AB 的中點為 M 時，kAB · kOM = −b²/a²（點差法）。