勾股定理 · PythagoLab

拼圖挑戰

直角三角形三條邊上各有一個正方形。勾股定理說：兩個小正方形的面積之和，等於斜邊上的大正方形的面積，a² + b² = c²。

別急著算，先動手：b² 已經被切成 4 塊，把它們和 a² 一起拖進 c²，看能不能拼滿。

出入相補

中國古代稱直角三角形的兩條直角邊為“勾”“股”，斜邊為“弦”。三國時趙爽用“弦圖”、魏晉時劉徽用“出入相補”證明了勾股定理。

“出入相補”：圖形剪下的部分移到別處，面積不變。

歐幾里得的證明

《幾何原本》第一卷第 47 個命題。從直角頂點 C 作斜邊的垂線，把 c² 分成兩個矩形，再證明它們分別等於 a² 和 b²。

動畫把證明中的全等三角形換成了三個保持面積的變換：剪切、旋轉、剪切。

更多證法

勾股定理大概是證法最多的定理，有人收集了三百多種。這裡再看兩種：畢達哥拉斯學派的“重排”，和美國總統加菲爾德的“梯形”。

倒水

把三個正方形做成一樣厚的水槽，連在直角三角形的三條邊上。

先在 a² 和 b² 裡裝滿水，然後慢慢轉動整塊板，水會流進 c²。猜猜看：能裝滿嗎？會溢出嗎？

勾股數

三邊都是整數的直角三角形，三邊長叫一組勾股數，如 3、4、5 和 5、12、13。

任取正整數 m > n，a = m² − n²，b = 2mn，c = m² + n² 一定是勾股數。拖動 m、n 試試，或者點散點圖上的點。