函數圖像 · FuncLab

圖像變換

從基本函數 y = f(x) 出發，y = a·f(b(x − h)) + k 的圖像可以由四步變換得到：

h 左右平移（“左加右減”），k 上下平移，a 縱向伸縮（a < 0 時還要關於 x 軸翻折），b 橫向伸縮為原來的 1/b。

淡色是原函數，圓點標出一個特徵點在變換前後的位置。

指數與對數

y = aˣ 與 y = logₐx（a > 0 且 a ≠ 1）互為反函數，圖像關於直線 y = x 對稱。

a > 1 時兩者都是增函數；0 < a < 1 時都是減函數。指數函數恆過 (0, 1)，對數函數恆過 (1, 0)。

拖動曲線上的點，看它關於 y = x 的對稱點。

單位圓與三角函數

角 θ 的終邊與單位圓交於點 P(cos θ, sin θ)。P 的縱座標就是 sin θ，橫座標就是 cos θ。

讓 θ 轉動，把 P 的高度隨 θ 記錄下來，就“展開”成了正弦曲線 y = sin x。轉一圈是 2π，所以正弦函數的週期是 2π。

正弦型函數

y = A sin(ωx + φ) + k 中：A 決定振幅，ω 決定週期 T = 2π/ω，φ 決定初相，k 讓圖像上下平移。

從 y = sin x 出發：先向左平移 φ，再把橫座標縮短為原來的 1/ω；若先伸縮，則只需平移 φ/ω。

“五點法”：令 ωx + φ 依次取 0、π/2、π、3π/2、2π，描出一個週期內的五個關鍵點。

導數的幾何意義

曲線上取點 P(x₀, f(x₀)) 和 Q(x₀ + h, f(x₀ + h))，割線 PQ 的斜率是平均變化率 (f(x₀ + h) − f(x₀)) / h。

讓 h → 0，Q 沿曲線滑向 P，割線趨近於切線。切線的斜率就是導數 f′(x₀)。

單調性與極值

上圖是 f(x)，下圖是導函數 f′(x)。

f′(x) > 0 的區間上 f(x) 單調遞增，f′(x) < 0 的區間上單調遞減。

f′(x) 由正變負的點是極大值點，由負變正的點是極小值點。f′(x₀) = 0 但不變號的點（如 x³ 在 0 處）不是極值點。

零點與二分法

若 f(x) 在 [a, b] 上連續，且 f(a)·f(b) < 0，則在 (a, b) 內至少有一個零點（零點存在定理）。

二分法：取中點 m，看 f(m) 的符號，保留仍然異號的那一半區間。每一步區間長度減半，直到達到所需的精度。

拖動區間端點，或者點“下一步”逐步二分。

定積分（拓展）

求曲邊梯形的面積：把 [a, b] 分成 n 等份，每一份用一個矩形近似，矩形面積之和叫黎曼和。

n 越大，矩形越窄，黎曼和越接近曲邊梯形的面積，這個極限就是定積分 ∫ₐᵇ f(x) dx。

比較以左端點、右端點、中點為高的三種取法。