立体几何 · GeoSpace

几何体认识

由若干个平面多边形围成的几何体叫多面体；由平面图形绕一条直线旋转形成的几何体叫旋转体。

拖动舞台旋转几何体：看不见的棱画成虚线，这是立体图形的画法约定。

数一数多面体的顶点数 V、棱数 E、面数 F，它们总满足欧拉公式 V − E + F = 2。

展开与折叠

把几何体的表面沿某些棱剪开、摊平，得到它的展开图。表面积就是展开图的面积。

圆柱的侧面展开是矩形，圆锥的侧面展开是扇形。正方体共有 11 种不同的展开图。

求表面上两点间的最短路径，先把路径经过的面展开到同一平面，再连直线。

三视图与直观图

从正前方、正左方、正上方观察几何体，分别得到主视图、左视图、俯视图。三者满足“长对正、高平齐、宽相等”。

在网格上点击即可叠放小方块，右键（或切换到“移除”）拿走方块，三视图同步更新。三视图相同的几何体，搭法不一定唯一。

斜二测画法用来画水平放置的平面图形的直观图。

截面

用一个平面去截几何体，得到的平面图形叫截面。截面的每条边都是截平面与几何体某个面的交线。

拖动棱上的三个点 P、Q、R 确定截平面，或者切换到“自由”模式调整平面的方向和位置。

正方体的截面可以是三角形、四边形、五边形、六边形，但截面三角形一定是锐角三角形，也截不出正五边形。

空间角

空间角都要转化为平面角来求：

异面直线所成角：平移其中一条直线，使两条直线相交，所成锐角或直角，范围 (0°, 90°]。

直线与平面所成角：斜线与它在平面内的射影所成的角，范围 [0°, 90°]。

二面角：在棱上取一点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角，范围 [0°, 180°]。

点击棱或对角线、面来选择对象，也可以直接选一道例题。

空间向量与坐标

建立空间直角坐标系后，点有坐标，直线有方向向量，平面有法向量，空间角和距离都可以用向量运算求出，不必作辅助线。

异面直线：cos θ = |a·b| / (|a||b|)；线面角：sin θ = |a·n| / (|a||n|)；二面角：由法向量夹角得到，锐角还是钝角要看图形；点到平面的距离：d = |AP·n| / |n|。

右侧把向量法的结果与第 5 章的几何法放在一起对照。

外接球与内切球

几何体的所有顶点都在球面上，这个球叫它的外接球；球与几何体的所有面都相切，叫内切球。

求外接球的关键是找球心：球心到各顶点的距离相等，常用办法是补形（补成长方体）和过外心作垂线。求内切球常用等体积法和截面法。

先看模型的特征，再套用对应的公式。每个模型都配了一道例题。

正四面体

4 个面都是正三角形的四面体叫正四面体。它是最对称的三棱锥，很多结论都可以直接记住。

两个关键：正四面体可以补成正方体（6 条棱是正方体的面对角线）；外接球、内切球、棱切球的球心都是它的中心，中心把高分成 3 : 1。

拖动“棱长 a”，各个量按比例变化，而角度保持不变。

随堂检测

截面、展开图、三视图三类题目，每组随机 5 题。作答后舞台会演示答案。